A geometria tanításának útjai (II.)

Hilbert elgondolása a modern axiomatikus eljárás megjelenését jelentette. Az axiómákat nem tekintette magától értetődő igazságoknak. A geometria olyan dolgokkal foglalkozik, amelyekről igen erős intuíciónk van, de nem kötelező jelentést hozzárendelni a definiálatlan fogalmakhoz. Az olyan elemeket, mint amilyen a pont, az egyenes és a sík, helyettesíthetnénk, ahogy Hilbert mondta, asztalokkal, székekkel, söröskorsókkal és más tárgyakkal is. A köztük lévő definiált kapcsolatok az, ami a vizsgálat tárgyát képezi. Ebben a könyvben az axiómákat öt csoportba sorolta: illeszkedési, rendezési, egybevágósági és a párhuzamossági axióma, amely ekvivalens Eukleidész ötödik (parallel) posztulátumával.

De a tanár kötelessége, feladata, hogy bemutassa a három különböző párhuzamossági axiómát: Plaiyfair-, Bolyai–Lobaszevszkij- és Riemann-axiómát a párhuzamos egyenesek létezéséről. A mindennapi életünk „síkbeli” geometriája az euklideszi vagy parabolikus geometria, és a nemeuklideszi geometriákat hiperbolikus (vagy Bolyai–Lobacsevszkij), illetve elliptikus (vagy Riemann) geometriának nevezzük. A gömbi geometria kétdimenziós nemeuklideszi geometria.

A Szilassi Lajos, a Szegedi Tudományegyetem tanára által készített Poincaré modellt, a Bolyai.exe (az internetről ingyenesen letölthető) programot használjuk a nemeuklideszi geometriák tárgyalására. Kísérletezéseik közben a tanulók felfedezik és megértik az egyenes fogalmát. Nagy meglepődéssel találnak két, majd több párhuzamost az adott „egyenes”-hez. Izgalmas a végtelen fogalmának felfedezése, ahogy megértik, amint az abszolúta, a Poincaré modell főköre nem tartozik a „Világunk”-hoz.

A tanulók következő feladata háromszög szerkesztése, belső szögösszegének kiszámítása. Nagy segítség ezen a modellen, hogy kapcsolókkal és dinamikus mozgatásokkal kapott bármely háromszög belső szögeit felmutatja, és kiszámolja a defektust is, ami a 180°-os egyenes szög és az adott háromszög belső szögösszegének különbsége. Viszont ezt a tanulók nem tudják előre, ekkor fogalmazódik meg az állítás, hogy a hiperbolikus geometriában a háromszög szögösszege kisebb az egyenesszögnél. Különösen érdekes az a háromszög, amelynek mindhárom csúcsa a fő körvonalon van, tehát nem is tartozik a „Világ”-hoz, ekkor a háromszög szögösszege nulla, oldalai mind párhuzamosak egymással.

Minden alkalommal egy kiruccanást teszünk a csillagászat világába, és megismerkedünk Albert Einstein relativitáselméletének néhány pontjával, hogy 1919-ben Arthur Stanley Eddington brit csillagásznak sikerült igazolnia az elméletet. A napfogyatkozás során képeket készített a Nap körüli csillagokról. Az általános relativitáselmélet szerint a Naphoz közel látszó csillagok képei kissé más irányban látszanak, mivel a fényüket a Nap gravitációs tere elhajlítja. Ez a hatás csak napfogyatkozáskor észlelhető, hisz egyébként a Nap fénye kivehetetlenné teszi a csillagokat. A newtoni gravitáció csak feleakkora elhajlást jósolt meg, mint a relativitás elmélete. Azóta sok megfigyelés és kísérlet igazolta Einstein általános relativitáselméletének helyességét, mint a bináris pulzárok vizsgálata (a pulzár gyorsan forgó neutroncsillag, mely erős mágneses térrel rendelkezik és párja fehér törpe, vagy másik neutroncsillag), rádiójelek áthaladásának megfigyelése a Nap koronáján vagy a GPS rendszerek alkalmazása.

A gömbi geometria, a Földünk geometriája kétdimenziós nemeuklideszi geometria, amit már az általános iskolában is megismernek a gyerekek földrajzórákon. A gömbi geometria tanításához a vajdasági, zentai Bolyai Farkas Alapítvány jóvoltából adományozásból kaptunk hat Lénárt-gömböt, amit a feltaláló Lénárt István személyesen hozott el hozzánk 2007 novemberében. Ekkor előadást is tartott a Bolyai matematikai iskolában a kis matematikusoknak és az érdeklődő tanároknak. Ebben a készletben a gömbön kívül gömbi vonalzó és gömbi körző is van, ami hatalmas segítség az „egyenesek” és a körök szerkesztéséhez. A tanulók gyorsan elsajátítják a szerkesztési lehetőségeket, megértik a párhuzamossági axióma adta (hiányos) feltételeket. Csodálatos kísérleteket lehet elvégezni, Lénárt István tankönyve ehhez nagy segítség, lépésenként felfedeztetni a gyerekekkel ezt a világot. A tavalyi munkáról egy fénykép:

A tananyag gömbi geometriai számításai sok tanuló számára csak „száraz számolósdi, unalmas elmélet” lenne, ha nem lehetne valódi nagyságában megszerkeszteni, kiszínezni, megcsodálni és lemérni az oldalait, szögeit. Meghökkenve tapasztalják ilyenkor a gyerekek, hogy a háromszög oldalait szögek mértékével adjuk, mérjük meg. Ezzel egy új, izgalmas világot mutatunk, amelyben csodálatos utazásokat lehet tenni.

Eközben a matematikatanulás néhány didaktikai elve is megvalósul:

• a spiralitás elve – az axiómarendszer, illetve a párhuzamossági axióma különböző életkorban különböző feldolgozási szinten újra és újra előfordul,

• a szemléletesség elve – a párhuzamos egyenesek képi ábrázolása és modellezése,

• az operatív elv – a tanulók saját maguk fedezik fel az axiómából következő tulajdonságokat, hiszen mindannyian külön-külön kísérleteznek a modellen,

• az integráció elve – az összes axióma egy rendszerbe való összefoglalása, ahogy feltárul előttünk a különböző geometriák egységes rendszere,

• a tudatosság elve – az elsajátított anyagot megértették és más környezetben is alkalmazni tudják.

Az újfajta látásmódok fejlesztésével a jövő mérnökeinek, orvosainak, tudósainak és tanárainak tárjuk ki a világ megismerésének kapuját, hogy az emberiség tudásának fája gyarapodjon.